Sistem Persamaan Linier dan Pertidaksamaan Satu Variabel

A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variable (SPLDV)
 
1. Pengertian Penyelesaian SPLDV
Jika nilai dan dalam pasangan terurut di tulis memenuhi SPLDV


Maka haruslah berlaku hubungan dan
2. Metode Grafik
Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Gambarlah grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang kartesius
Langkah 2:
Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.
Jika kedua garis sejajar, maka himpuanan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, di tulis {┤}.
Jika kedua garis itu berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.
3. Metode Substitusi
Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan memakai metode Substitusi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai dungsi x.
Langkah 2:
Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain.
4. Metode eliminasi
Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan memakai metode eliminasi adalah sebagai berikut:
Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi peubah x.

B. Sistem Persamaan Linier dengan Tiga Variable (SPLTV)
 
Sistem persamaan linier dengan tiga variabel terdiri atas tiga persamaan linier yang masing masing memuat tiga variabel. Dengan demikian SPLTV dalam variabel x, y, dan Z dapat ditulis sebagai:
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan menggunakan:
 
1. Metode Substitusi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV (dalam x, y, dan z) dengan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Langkah 2:
Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga di dapat SPLTV
Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2
 
2. Metode Eliminasi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV (dalam x, y, dan z) dengan menggunakan metode Eliminasi adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh SPLDV
Langkah 2:
Selesaikan SPLDV yang didapat pada langkah 1
Langkah 3:
Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.

C. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat (SPLK)
Bentuk umum


Salah satu bentuk umum paling sederhana adalah:


Untuk menyelesaikan sistem persamaan bentuk ini dapat menggunakan metode substitusi.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
Jawab:
Ubah persamaan linier x + y = 5 ke bentuk y = -x + 5…..(1)
Substitusi y = -x +5 dari…….(1) ke dalam …….(2)

Persamaan kuadrat sekutu
Ubah persamaan kuadrat sekutu (hasil substitusi) ke bentuk baku persamaan kuadrat:

persamaan kuadrat bentuk baku
Menyelesaikan PK dengan pemfaktoran


Jadi,
Sistem nilai x ke dalam persamaan linier (1):
1. Untuk ⟹salah satu penyelesaian (4,1)
2. Untuk ⟹salah satu penyelesaian (1,4)

D. Merancang Model Matematika Yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan
1. Merancang Model Matematika Yang berbentuk SPLDV
Contoh:
A berbelanja ke toko buku, ia membeli empat buah buku tulis dan 1 buah pensil. Untuk itu A harus membayar sejumlah Rp 5.600,00. Di toko buku yang sama, B membeli 5 buah buku tulis dan 3 buah pensil. Jumlah uang yang harus dibayar oleh B sebesar Rp 8.400,00. Masalahnya adalah berapa harga untuk sebuah buku tulis dan harga untuk sebuah pensil?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dapat diselesaikan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1. Misalkan harga sebuah buku tulis adalah x rupiah dan harga sebuah pensil adalah y rupiah.	Besaran yang ada dalam masalah dinyatakan dalam variable x dan y
2. Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal diperoleh hubungan: 4x + y = 5600 dan 5x + 3y = 8.400 Kedua persamaan diatas membentuk SPLDV 4x + y = 5600 5x + 3y = 8.400	Hubungan atau ekspresi matematika yang diperoleh Rumusan SPLDV yang merupakan model matematika dari masalah
3. SPLDV yang diperoleh pada langkah 2 dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode yang pernah dipelajari (substitusi atau eliminasi). Penyelesaiannya adalah x = 1.200 dan y = 800	Menentukan penyelesaian dari model matematika
4. Jadi, harga sebuah buku tulis Rp 1.200,00 dan harga sebuah pensil Rp 800,00	Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh disesuaikan dengan masalah semula

2. Merancang Model Matematika Yang berbentuk SPLTV
Contoh:
Ali, Badar dan Charli berbelanja disebuah toko buku.
Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Ali membayar Rp 4.700,00
Badar membeli sebuah buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Badar membayar Rp 4.300,00
Charli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Ali membayar Rp 7.100,00
Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?
a. Misalkan bahwa:
Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah
Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah
Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah
b. Dengan demikian model matematika yang sesuai dengan data persoalan diatas adalah
2x + y + z = 4700
x + 2y + z = 4300
3x +2y + 2 = 7100
c. Penyelesaian SPLTV itu dapat ditentukan dengan metode substitusi, metode eliminasi atau gabungan keduanya
Eliminasi peubah Z:




Substitusi nilai x = 1400 ke persamaan x – y = 400, dipeoleh:
1400 – y = 400 ⟺ y = 1000
Substitusikan nilai x = 1400 dan y = 1000 ke persamaan 2x + y + z = 4700, diperoleh:
2 (1400) + 1 (1000) + z = 4700
⟺ 3800 + z = 4700
⟺ z = 900
Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp 1400,00, harga untuk sebuah pensil adalah Rp 1.000,00, dan harga untuk sebuah penghapus adalah Rp 900,00.

E. Pertidaksamaan Satu Variabel
Ada 8 macam kemungkinan selang atau interval yang sering dijumpai dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, yaitu:

F. Pertidaksamaan Pecahan
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan berbentuk pecahan dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan pecahan:
x - 1/x -2 < 0

Dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut:
Langkah 1:
Nilai nol bagian pembilang: x – 1 = 0⟹ x =1
Nilai nol bagian penyebut: x – 2 = 0 ⟹x = 2
Langkah 2:
Nilai nol pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol itu membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu x < 1,1 < x < 2, dan x > 2.
Langkah 3
Tanda-tanda interval ditentukan dengan cara membagi nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Dalam contoh ini diambil nilai-nilai uji x = 0 (berada dalam interval x<1),x=3/2 (berada dalam interval 1 < x < 2), dan x= 3 (berada dalam interval x > 2). Nilai-nilai uji x = 0,x=3/2, dan x = 3 disubstitusikan ke bentuk pecahan (x-1)/(x-2), diperoleh :
Untuk , Interval x < 1 bertanda + atau > 0
Untuk , Interval 0 < x < 1 bertanda - atau < 0 Untuk , Interval x > 2 bertanda + atau > 0
Tanda-tanda interval itu kemudian dituliskan pada interval-interval yang bersesuaian, seperti berikut:

Langkah 4
Dari tanda-tanda interval pada gambar yang memenuhi adalah 1 < x < 2. jadi, penyelesaian himpunan pertidaksamaan x-1/ x-2 < 0 adalah Hp = {xI 1 < x < 2} G. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Satu Variabel Contoh soal: Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20 Jika bilangan pertama samadengan 6, tentukan batas-batas bilangan yang kedua Dari kalimat “Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20” merupakan indicator bahwa maslah tersebut berkaitan dengan model matematika pertidaksamaan satu variable. Selanjutnya, masalah dipecahkan sebagai berikut:  

1. Bilangan pertama diketahui samadengan 6, bilangan kedua dimisalkan samadengan x	Menentukan besaran dalam masalah sebagai variabel x
2. Berdasarkan ketentuan dalam soal, diperoleh hubungan atau ekspresi matematika 6 + x < 20	Merumuskan model matematika dari masalah
3. Penyelesaian model matematika 6 + x < 20 ditentukan sebagai berikut: 6 + x < 20 x < 20 – 6 x < 14	Menentukan penyelesaian dari model matematika
4. Jadi, bilangan kedua terletak dalam batas x < 14	Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh